Here is a partition of [416] into 4 parts, each without an arithmetic progression of length 4. This partition witnesses to the fact that W(4,4) > 416.

Block 1:
2 7 11 16 17 21 24 29 30 32 39 41 42 50 51 57 64 67 68 69 76 78 80 88 91 93 96 110 122 124 130 132 133 134 137 142 148 155 157 159 160 164 165 166 169 172 176 181 182 183 185 194 195 202 204 209 212 213 219 243 246 247 248 253 254 255 257 260 264 270 272 276 277 278 280 281 286 289 293 303 304 309 310 312 313 317 322 330 336 341 345 347 350 359 361 375 381 383 384 385 394 398 399 400 403 404 406 410 411
Block 2:
3 4 8 13 14 20 28 31 35 40 44 45 52 59 61 71 79 82 83 85 89 92 97 98 100 101 106 109 117 120 127 128 135 140 141 144 146 147 152 154 156 163 168 177 179 189 193 203 208 216 217 222 224 233 235 236 244 249 251 256 258 267 268 273 274 275 279 282 284 287 294 295 297 298 300 301 305 307 324 326 331 333 338 339 340 348 349 353 356 360 362 365 368 369 370 376 386 387 396 402 408
Block 3:
6 15 18 19 22 23 43 46 47 49 54 55 56 60 62 63 65 66 73 75 77 81 84 87 102 104 107 111 112 113 115 116 125 126 129 136 138 143 158 162 178 180 187 190 191 192 197 201 206 207 210 211 218 223 225 226 228 229 237 238 241 242 245 250 252 261 263 265 266 269 271 291 306 308 311 315 318 319 321 327 343 344 352 354 355 357 358 363 374 377 378 379 382 388 389 390 392 395 405 407 409 412 414 415 416
Block 4:
1 5 9 10 12 25 26 27 33 34 36 37 38 48 53 58 70 72 74 86 90 94 95 99 103 105 108 114 118 119 121 123 131 139 145 149 150 151 153 161 167 170 171 173 174 175 184 186 188 196 198 199 200 205 214 215 220 221 227 230 231 232 234 239 240 259 262 283 285 288 290 292 296 299 302 314 316 320 323 325 328 329 332 334 335 337 342 346 351 364 366 367 371 372 373 380 391 393 397 401 413